ตรรกศาสตร์

ตรรกศาสตร์

บทนิยาม  ประพจน์ คือ ประโยค หรือข้อความที่อยู่ในรูปแบบประโยคบอกเล่า

หรือประโยคปฏิเสธ ที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง

                        ตัวอย่างเช่น  

                        • เชียงใหม่เป็นจังหวัดทางภาคใต้             → เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคบอกเล่าที่เป็นเท็จ

                        • ใครทำจานแตก      → ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำถามและบอกไม่ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

                        • -1 ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก → เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริง

      นั่นคือ ประโยคคำถาม คำสั่ง ขอร้อง คำอุทาน หรือประโยคที่ไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ ไม่เป็นประพจน์

1.ตัวเชื่อมประพจน์ "และ"

            การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "และ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∧ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)


2. ตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ"

            การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∨q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)

           

3. ตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว"

            การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p → q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)

           

4. ตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ"

            การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ⇔ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน

           

5. นิเสธของประพจน์

             นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ และสามารถเขียนแทนนิเสธของ p ได้ด้วย ~p

ตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม

p	q	p ∧ q	p ∨q	p → q	p ⇔ q	~p	~q
T T F F	T F T F	T F F F	T T T F	T F T T	T F F T	F F T T	F T F T

ประพจน์ที่สมมูลกัน

           ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย

            ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดังนี้

 p ∧ q                         สมมูลกับ                   q ∧ p

 p ∨ q                         สมมูลกับ                   q ∨ p

 (p ∧ q) ∧ r              สมมูลกับ                   p ∧ (q ∧ r)

 (p ∨ q) ∨ r              สมมูลกับ                   p ∨ (q ∨ r)

 p ∧ (q ∨ r)              สมมูลกับ                   (p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)

 p ∨ (q ∧ r)              สมมูลกับ                   (p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)

 p → q                      สมมูลกับ                   ~p ∨ q

 p → q                      สมมูลกับ                   ~q → ~p

 p ⇔ q                      สมมูลกับ                   (p → q) ∧ (q → p)

                                     

 ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน

           ประพจน์ 2 ประพจน์เป็นนิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย

            ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรทราบ มีดังนี้

           

~(p ∧ q)                    สมมูลกับ                   ~p ∨ ~q

 ~(p ∨ q)                   สมมูลกับ                   ~p ∧ ~q

 ~(p → q)                สมมูลกับ                   p ∧ ~q

 ~(p ⇔ q)                สมมูลกับ                   (p ⇔ ~q) ∨(q ⇔ ~p)

 ~(p ⇔ q)                สมมูลกับ                   (p ∧ ~q) ∨ ( q ∧~p)

พิสูจน์

จะเห็นว่า p ∧ q        สมมูลกับ       q ∧ p

            ~(p ∧ q)        สมมูลกับ      ~p ∨ ~q เป็นนิเสธของ p ∧ q

สัจนิรันดร์

      ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ทุกกรณีของประพจน์ย่อย

            ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ที่ควรทราบ มีดังนี้

            p ∨ ~q                                   [ ~p ∧ ( p ∨ q)] → q

            ~(p ∧ ~q)                              [ ( p → q) ∧ ~q ] → ~p

            (p ∧ q) → p                        (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)

            (p ∧ q) → q                        (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)

            p → (p ∨ q)                        (p → q) ⇔ (~p ∨ q)

            q → (p ∨ q)                        (p → q) ⇔ (~q → ~p)

            [ p ∧ ( p → q)] → q        (~p ∨ q) ⇔ (~q → ~p)

            [ ~p ∧ ( p → q)] → ~q   ( p ⇔ q) ⇔ [(p → q) ∧ (q → p)]

ข้อสังเกต       ประพจน์ที่สมมูลกัน เมื่อนำมาเชื่อมด้วยตัวเชื่อม ⇔ จะได้ประพจน์ใหม่ซึ่งเป็นสัจนิรันดร์ นั่นคือ ถ้า A และ B สมมูลกันแล้ว A ⇔ B เป็นสัจนิรันดร์  

ประโยคเปิด

บทนิยาม       

       ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธที่ประกอบด้วยตัวแปรทำให้ไม่เป็นประพจน์ และเมื่อแทนที่ตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วจะได้ประพจน์

 เราสามารถเขียนแทนประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร x ด้วยสัญลักษณ์ P(x) หรือ Q(x) และเขียนแทนประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร x และ y ด้วยสัญลักษณ์ P(x,y) หรือ Q(x,y)

ตัวอย่างเช่น

• เขาเป็นคนดี ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “เขา”

 • x > 3 ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “x”

 ตัวบ่งปริมาณ

 ตัวบ่งปริมาณ เป็นตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ

1. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์”

ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∀” อ่านว่า”สำหรับสมาชิก x ทุกตัว”

 2. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์

ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∃” อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว”

ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

1. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง

2. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ

3. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง

4. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง

นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

~∀x[P(x)]                สมมูลกับ                   ∃x[~P(x)]

 ~∃x[P(x)]                สมมูลกับ                   ∀x[~P(x)]

 ~∀x[~P(x)]             สมมูลกับ                   ∃x[P(x)]

 ~∃x[~P(x)]             สมมูลกับ                   ∀x[P(x)]

           

ตัวอย่างเช่น               

            • ∀x[x < 0] เมื่อ  u = เซตของจำนวนเต็ม

มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะเมื่อแทน x เป็นจำนวนเต็มบวกและศูนย์ จะทำให้ x < 0 เป็นเท็จ

• ∃x[x < 0]เมื่อ  u = เซตของจำนวนเต็ม

มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะเมื่อแทน x เป็นจำนวนเต็มลบ จะทำให้ x < 0 เป็นจริง           

การอ้างเหตุผล คือ การอ้างว่า "สำหรับเหตุการณ์ P1, P2,..., Pn ชุดหนึ่ง สามารถสรุปผลที่ตามมา C ได้"

            การอ้างเหตุผลประกอบด้วย 2 ส่วน คือ

            1. เหตุ หรือสิ่งที่กำหนดให้

            2. ผล หรือสิ่งที่ตามมา

           สำหรับการพิจารณาว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่นั้นพิจารณาได้จากประพจน์ ( P1 ∧ P2 ∧ ... Pn) → C ถ้าประพจน์ดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ (เป็นสัจนิรันดร์) เราสามารถสรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวเป็นการอ้างที่สมเหตุสมผล

            ตัวอย่างเช่น   เหตุ     1. p → q

                                                2. p

                                    ผล       q